Yksiköt ja suhteet kunniaan

Tarkistin tenttitehtävää hyperpallon kuorella olevien pisteiden määrästä verrattuna pallon sisäpisteisiin. Opiskelijan vastaus perustui sisäpisteiden muodostaman volyymin menemiseen nollaan suurilla dimensioilla (n -> oo). Tutustuin vielä kerran muutamaan hyperpalloa esittelevään sivustoon, mm. http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere ja http://mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html. Mielenkiintoista, että hyperpallon pinnan ja tilavuuden arvot alkavat vähetä (säde R=1) n=5 jälkeen. Moniulotteinen avaruus ei ole samaa mitä 3-ulotteinen on. Miten tilavuus noin vain katoaa? Ehkäpä täytyy vain uskoa toteamusta, että tilavuudet eri n:n arvoilla eivät ole vertailukelpoisia. Tapahtuu jotain hypererikoista!

Opiskelijan vastaus meni vähän siis ohi: hän ei selvittänyt suhdetta. Suhdeluku on laaduton yksikkö. Valtion pinta-alaa lasketaan km^2:issä, suuren lumikinoksen tilavuutta m^3:issä. Mutta suhteen laskemisessa yksiköt kumoutuvat. Äänenvoimakkuutta esitetään usein desibeleissä, jolloin äänen voimakkutta arvioidaan vaikkapa normaaliin ilmanpaineeseen verrattuna ja päädytään laaduttomaan yksikköön, josta voidaan laskea logaritmi. Eikä tule ongelmaa tulkita, mitä log(kPa) on.

Yksikkötarkastelu on siis hyödyllistä. Useita oppikirjalaskutehtäviä voi ratkaista tarkistamalla että laadut täsmäävät. Vastaavaa voi harjoittaa vaikkapa matriisilaskennassa matriisien koon perusteella. Analogisen signaalin kulmataajuus on Omega = 2 pi f, jolloin [Omega]=rad/s, kun taas digitaalisen lukujonon kulmataajuus on omega = 2 pi f/f_T, jolloin [omega]=rad (rad/näyte).

Yksiköt ja suhteet siis kunniaan. Miksi muuten puhutaan hyperpallosta eikä superpallosta?