Viikon 8 puuhalaskarit

Viikon 8 puuhalaskareita voi kommentoida vapaasti täällä. Tehtävien malliratkaisut löytyvät kirjan takaa, mutta huomasin, että kaikkia asioita ei ehkä ole selitetty riittävän tarkasti. Etenkin tehtävät 8.6 ja 8.7 saattoivat aiheuttaa hämmennystä, koska ne sisältävät tasoaallon polarisaatiotarkasteluja, joiden hahmottaminen vaatii pientä mielikuvitusta. Tehtävän 8.7 malliratkaisussa esiintyvä ruuviviiva paikan z funktiona on oikeakätinen, mikä voi vaikuttaa ristiriitaiselta kun tiedetään, että tehtävän vastaus on vasenkätisesti polarisoitunut aalto. Polarisaation määrittelemisessä onkin hyvä käyttää seuraavia apukeinoja:

Tarkastellaan sähkökenttävektoria paikassa z = 0 ajan funktiona: jos sähkökenttä pyörii myötäpäivään vastaanottajan näkökulmasta ja aalto etenee + z – suuntaan, aalto on vasenkätisesti polarisoitunut. Jos taas pyörimissuunta on vastapäivään, kyseessä on oikeakätinen polarisaatio. Peukalon osoittaessa aallon etenemissuuntaan muut sormet näyttävät sähkökentän pyörimissuunnan ajan funktiona. Paikan suhteen tilanne voi näyttää vastakkaiselta, mutta se ei vaikuta aallon polarisaatioon.

Jos sähkökenttävektori (kun z = 0) on muotoa:

E(0,t) = E [ux cos(wt) – uy sin(wt)]     (1)

voidaan valita 2 ajanhetkeä. Hetkellä t = 0 sähkökentän sinitermi häviää ja vektori osoittaa x-akselin suuntaan. Hetkellä t = pi / (2 w) kosinitermin argumentiksi tulee pi / 2 ja kenttävektorin suunta on –y – suuntaan. Tästä nähdään, että pyörimissuunta on myötäpäivään (jos et usko, piirrä kuva tavalliseen xy-koordinaatistoon). Tässä tilannetta tarkastellaan siis aallon etupuolelta, eli katseen suunta on negatiivisen z-akselin suuntaan. Tasoaallon lähettäjä näkisi pyörimissuunnan vastakkaisena.

Usein ympyräpolarisoituneet tasoaallot esitetään kompleksisessa muodossa:

E(r) = E (ux + j uy) exp(-jkz)     (2)

Lauseke (2) esittää ympyräpolarisoitunutta tasoaaltoa, joka etenee positiivisen z-akselin suuntaan. Tästä päästään aikariippuvaan muotoon kertomalla luvulla exp(jwt) ja ottamalla tulon reaaliosa. Siis:

E(r,t) = Re{(ux + j uy) exp[j(wt kz)]}

=E [ux cos(wt – kz) – uy sin(wt – kz)]     (3)

Kyseessä on +z-suuntaan etenevä vasenkätisesti ympyräpolarisoitunut tasoaalto, minkä voi helposti todentaa edellä läpikäydyllä aikatason tarkastelulla. Kun tämä kirjoitetaan hetkellä t = 0 saadaan:

E(r,0) = E [ux cos(kz) + uy sin(kz)]     (4)

Nähdään että sinin etumerkki on vastakkainen lausekkeeseen (1) verrattuna. Kun z-koordinaattia kasvatetaan pyörimissuunta onkin vastapäivään! Tarkastelusuunta on valittu samoin kuin aikaisemmin. Tämä nähdään samalla tavalla kuin lausekkeen (1) tapauksessa ajan funktiona. Pyörimissuunta riippuu siis sähkökentän lausekkeessa olevien sini- ja kosinitermien etumerkeistä!

Tehtävät 8.2 ja 8.22 ovat melko suoraviivaisia. Näin lyhyesti: tehtävän 8.2 idea on annetun eksponenttilausekkeen sijoittaminen Helmoltzin yhtälöön (annettu). Tällöin saadaan, että kx^2 + ky^2 + kz^2 = k^2 = w^2 mu epsilon. Tämä on tehtävässä haettu ehto. Tehtävän 8.22 idea on kompleksisen aaltoluvun k sijoittaminen sähkökentän lausekkeeseen: k = k‘ – j k“, ja E ~ exp(-jkz); sähkökentästä ei tarvitse tietää mitään muuta. Nyt saadaan, että

E ~ exp[-jk’z – j * (-jk“)z] = exp(-jk’zk”z) = exp(-jk’z) exp (k”z)    (5)

Tässä exp (k”z) on vaimennuskerroin, ja se voidaan esittää desibeleinä ottamalla 20log. Vaimennus / matka on vaimennus / z.