Viikon 13 puuhalaskarit

Viikon 13 puuhalaskareista voi nyt antaa kommentteja. Puuhalaskaritehtävinä olivat tällä kertaa tehtävät 9.10, 9.13 a, 9.13 b ja 9.18. Tehtävät käsittelivät aaltoputkissa eteneviä aaltomuotoja, kuten TE10 ja TM11. Näistä ensimmäisellä on magneettikentän etenemissuuntainen komponentti ja sähkökenttä on puhtaasti poikittainen. Jälkimmäisellä kentät ovat päinvastoin ja sähkökentällä on pitkittäinen komponentti. Johteen reunaehdot rajoittavat kenttiä ja niiden värähtelytaajuutta.

9.10

Tehtävässä pitää laskea kuinka suuri osa tunnelin suulta lähetetystä sähkömagneettisesta aallosta pääsee etenemään 50 m tunneliin. Tunnelin korkeus voidaan olettaa leveyttä pienemmäksi. Tunneli toimii suorakulmaisena aaltoputkena, jossa etenevillä aaltomuodoilla on omat katkotaajuutensa. Katkotaajuuden alapuolella kentät eivät pääse etenemään tunneliin, mutta vaimenevat eksponentiaalisesti nopeudella, joka määräytyy aaltomuodosta. Matalin katkotaajuus ja vaimennus ovat TE10-muodolla. Tehtävässä annettu taajuus (1 MHz) on TE10-katkotaajuuden alapuolella, joten tunneliin lähetetty signaali vaimenee eksponentiaalisesti. 50 m tunneliin tunkeutunut kenttä saadaan kun lasketaan TE10-muodon kokema vaimennus 50 m matkalla. Kenttä 50 m tunnelissa on kenttä tunnelin suulla kerrottuna vaimennuksella. Vaimennuksen voi laskea etenemiskertoimesta, jossa tarvitsee huomioida vain tunnelin leveydestä riippuva termi, koska TE10muoto ei riipu tunnelin korkeudesta (indeksi m = 0). Tunnelin korkeudelle ei siis ole muita vaatimuksia kuin se, että se on leveyttä pienempi. Tehtävässä kysyttiin myös taajuutta, jota vähintään pitäisi käyttää, jos haluttaisiin aallon etenevän tunnelissa. Tämä taajuus on TE10-muodon katkotaajuus, joka saadaan kaavasta:

f = c / (2 a)     (1)

9.13 a & b

Tehtävä käsittelee samoja asioita, joita harjoiteltiin kotitehtävässä 2. Kun sähkökentän lauseke tunnetaan, saadaan magneettikenttä soveltamalla Maxwellin yhtälöitä (nehän toimivat kaikkialla). H voidaan ratkaista Faradayn laista kun lasketaan sähkökentän roottori ja jaetaan se luvulla j wμ, jossa μ on väliaineen permeabilisuus. Reaaliset aikariippuvat kentät saadaan kertomalla luvulla exp(j wt) ja ottamalla reaaliosa.

9.18

Tehtävässä lasketaan matalin resonanssitaajuus suorakulmaiselle resonaattorille, jonka mitat ovat 4 x 3 x 5 cm^3. Resonanssitaajuudet noudattavat yhtälöä

f = (c/2) sqrt((n/a)^2+(m/b)^2+(l/L)^2)     (2)

jossa a,b ja L ovat resonaattorin sivujen pituudet, n,m ja l ovat lähes mielivaltaisia kokonaislukuja ja c on valon nopeus resonaattorin täyttävässä väliaineessa. Yksi indekseistä n,m ja l voi olla nolla ilman, että resonaattorin kentät häviävät. Syynä tähän on se, että esimerkiksi sähkökenttä voi olla yhtä sivua vastaan kohtisuorassa. Johteen reunaehto vaatii, että sähkökentän johdepinnan suuntaisen komponentin on hävittävä, joten sähkökentän amplitudi menee nollaksi kahdella muulla sivulla. Tämä puolestaan tarkoittaa sinimuotoista värähtelyä sivuja vastaan kohtisuorissa suunnissa. Koska edellä mainitut indeksit liittyvät aallonhuippujen lukumääriin niitä vastaavissa suunnissa, tarvitaan kaksi indeksiä ja kolmas voi olla 0. Matalin värähtelytaajuus voidaan päätellä lausekkeesta (2) kun otetaan kaksi pisintä sivua ja niitä vastaavat termit mukaan lausekkeeseen. Lyhyintä sivua vastaava termi aiheuttaa suurimman korotuksen resonanssitaajuuteen, koska sivujen pituudet sijaitsevat neliöjuuren argumentissa termien nimittäjissä. Tätä sivua vastaava termi saadaan nollattua asettamalla sitä vastaava indeksi nollaksi.

Lumen suhteellisen permittiivisyyden voi määrittää kun tiedetään matalimmat resonanssitaajuudet tyhjälle ja lumella täytetylle resonaattorille. Lumella täytetyssä resonaattorissa taitekerroin on likimain sqrt(ε), jossa ε on lumen suhteellinen permittiivisyys. Näin ollen valon nopeus ja resonanssitaajuudet skaalautuvat tekijällä 1 / sqrt(ε). Kun resonanssitaajuuksien suhde tunnetaan, voidaan ratkaista lumen permittiivisyys.

Muita huomioita:

Tiistain laskuharjoituksessa oli paikalla runsaasti laskijoita ja luokka I346 oli lähes täynnä. Keskiviikkona paikalla oli vähemmän opiskelijoita: 7 henkilöä osallistui laskuharjoitukseen. Perjantaina oltiin näiden kahden luvun välimaastossa, eli ehkä n. 20 henkilöä oli seuraamassa demoa.