Kotitehtävä 2

2. kotitehtävän palautus oli jo kaksi viikkoa sitten ja pisteetkin on jo julkaistu. Tässä postauksessa on käsitelty tehtävän arvostelukriteerit ja yleisimmät virheet sekä asiat, jotka puolestaan oli osattu hyvin. Käytin tehtävää arvostellessani selkeitä kriteerejä, jotta arvostelu olisi oikeudenmukainen. Jokainen tehtävän kolmesta kohdasta on arvosteltu asteikolla 0-4, joten maksimipistemäärä tehtävästä on 12. Arvostelukriteerit kohdittain olivat:

a)

Magneettikentän lauseke on johdettu sähkökentän lausekkeesta.  2p

Lisäehto parametrille k on oikein. 1p

Lisäehto parametrille k on johdettu esim. Amperen laista (joka tulee samalla testatuksi). 1p

Lisäksi kiinnitin huomiota siihen, oliko divergenssiyhtälöitä testattu. Tämä ei kuulunut suoraan tehtävänantoon, mutta osoitti että tehtävänanto oli ymmärretty oikein. Siksi asia on saattanut vaikuttaa korottavasti / alentavasti arvosteluun.

b)

Reaalinen aikariippuvuus on laskettu oikein. 1p

Faradayn laki on testattu.                                     1p

Amperen laki on testattu.                                      1p

Divergenssiyhtälöt on testattu.                            1p

Moni sai b-kohdasta 0 pistettä, koska aikariippuvuuden reaalisuutta ei oltu otettu huomioon. Pelkkä kertominen exp(jwt):llä ei riitä aikariippuvien, reaalisten kenttien laskemiseen, joita tehtävässä kysyttiin. Jos aikariippuvuuden sijoittaa Maxwellin yhtälöihin muodossa exp(jwt), aikariippuvat yhtälöt muuttuvat aikaharmonisiksi versioikseen, jolloin tulokseksi saadaan 1 = 1 tyyppinen todistus yhtälöiden toteutumiselle. Siis esim. Faradayn laki toteutuu, koska magneettikenttä laskettiin a-kohdassa aikaharmonisesta yhtälöstä, eli a-kohdan lasku vain toistetaan uudelleen. Myöskään muiden yhtälöiden testaamisella ei ole merkitystä samasta syystä. Jos kenttäratkaisut toteuttivat Maxwellin yhtälöt a-kohdassa, toteutuvat aikaharmoniset yhtälöt myös b-kohdassa, koska ne ovat samat.

c)

Magneettikentän lauseke on johdettu Faradayn laista.                                           2p

Lisäehto parametrille a on oikein ja johdettu esim Amperen laista.                     1p

Divergenssiyhtälöt on testattu (tuleeko esim. vakiolle B lisäehtoja?)                   1p

Lisäksi olen antanut lisäpisteitä mm. hyvästä yrityksestä, huolellisuudesta ja selkeydestä. Nämä eivät ole olleet arvostelun keskiössä vaan ovat vaikuttaneet lähinnä korottavasti tai alentavasti. Toistuvista merkkivirheistä, jotka ovat johtaneet järjettömiin lopputuloksiin on otettu pisteitä, mutta vain ääritapauksissa, jos reaaliselle kenttävektorille saadaan kompleksinen amplitudi tai jokainen merkki vastauksessa on väärin. Selkeys on vaikuttanut alentavasti jos vastauspaperista ei saa selvää, eli etenemisjärjestys on epälooginen, kirjoitus sekavaa ja joukossa on ylimääräistä sotkua. Vaihtoehtoisesti, jos vastauspaperia on viilattu tuntien työpanoksella selkeäksi, mukana on kansilehdet, etenemisjärjestys on looginen, tekemiseen on käytetty LaTeX:ia, kaavat on numeroitu ja mukana ei ole turhia välivaiheita, olen saattanut antaa korotuspisteen huolellisuudesta.

Yleisiä virheitä:

a) Pääosin osattu hyvin (ka. 3.23)

-Lisäehto parametrille k puuttuu tai on laskettu väärin. Moni sai tulokseksi k = w sqrt(epsilon / mu), eli kulmataajuuden ja aaltoimpedanssin osamäärä. Tähän lopputulokseen päätyy helposti jos käyttää magneettikentän voimakkuudelle lauseketta H = mu B. Oikea riippuvuus magneettikentän voimakkuuden ja magneettivuon tiheyden B välillä on B = mu H, jolloin k = w sqrt(mu epsilon). Tuloksen oikeellisuuden voi varmistaa yksikkötarkastelulla: kz on oltava laaduton luku, koska se esiintyy sähkökentän eksponentissa.

b) Tämä osoittautui tehtävän vaikeimmaksi kohdaksi (ka. 2.3)

-Aikariippuvina kenttinä on käytetty kompleksisia kenttiä, eli sin ja cos termien sijaan lausekkeissa esiintyy exp(jwt), josta ei ole otettu reaaliosaa. Tällöin b-kohdasta sai nolla pistettä syistä jotka olen selittänyt edellä.

-Divergenssiyhtälöitä ei ole testattu. Kaikki Maxwellin yhtälöt on testattava kun ollaan aika-alueessa. Aikaharmoniset yhtälöt voidaan periaatteessa johtaa roottoriyhtälöistä taajuustasossa.

-Pelkästään Faradayn laki on testattu ja unohdettu 3 muuta yhtälöä.

-Divergenssiyhtälöt on kirjoitettu auki, mutta perustelut niiden paikkansapitävyydelle ovat väärin. Divergenssiyhtälöitä ei voi tässä perustella tehtävän reunaehdoilla (tyhjä, homogeeninen avaruus ilman varauksia ja virtoja), koska kyse on ennemminkin siitä toteuttavatko mielivaltaiset, mahdollisesti epäfysikaaliset kentät tehtävän reunaehdot.

c) (ka. 2.37)

-Lisäehto parametrille a puuttuu tai on laskettu väärin. Kaikki riippuvuudet a:n ja B:n välillä ja kompleksiset a:n arvot, joihin päätyy helposti joko tekemällä merkkivirheen tai virheen integroinnissa ajan suhteen. a ei voi olla imaginaarinen, koska se esiintyy aikariippuvan, ei aikaharmonisen magneettiikentän nimittäjässä kertoimena. a ei voi olla myöskään aaltoimpedanssi, koska jälleen vaaditaan eksponenttiin laaduton luku.

-Roottoria laskettaessa on derivoitu ajan suhteen. Tämä on väärin, koska roottori, divergenssi, Laplacen operaattori ja nabla ovat kenttäteoriassa paikkaderivaattoja – ne ilmaisevat muutosta paikan suhteen. Todennäköisimmin ne, jotka tekivät tämän virheen tekivät sen huolimattomuuden takia.

-Divergenssiyhtälöitä ei ole testattu. Sama perustelu kuin b-kohdassa.

Koko tehtävän keskiarvo oli 7.9, eli pyöristettynä 66% pisteistä. Tämä osoittaa sen, että vaikka tehtävässä joutuikin nablaamaan ja integroimaan Maxwellin yhtälöitä, tehtävä oli osattu suhteellisen hyvin. Maxwellin yhtälöt kannattaa opetella hyvin, koska koko sähkötekniikka perustuu niihin ja yhtälöiden avulla on mahdollista ymmärtää sähkömagnetismia. Tästä on hyötyä tulevilla kursseilla ja ehkä myös työelämässä vaikka ei joutuisikaan pyörittelemään integraaleja paperilla.

Arvosteluun tutustuminen järjestetään ti 13.3 klo 13:00 sähköllä vasemman C-siiven seminaarihuoneessa C124. Jos koet, että vastauksesi on arvosteltu väärin, sinulla on mahdollisuus vaikuttaa arvosteluun tulemalla paikalle. Yleisiä arvostelukriteerejä ei tulla muuttamaan ellei muutokselle löydy järkevää syytä. On kuitenkin mahdollista, että yksittäinen vastauspaperi on arvosteltu yllä mainittujen kriteerien vastaisesti. Tällaisissa epäoikeudenmukaisuuksissa voi vaatia lisäpisteitä mikäli pistemäärä poikkeaa alaspäin kriteerien mukaisesta pistemäärästä.