4. luento, 10.2.

Päästiin vihdoin Maxwellin yhtälöihin täydellisessä muodossaan. Faradayn laissa on jo nähty aikaderivaattatermi magneettivuon tiheydestä, ja vastaavanlainen sähkövuon tiheyden aikaderivaatta tulee Ampèren lakiin. Tätä termiä yritettiin tulkita. Senhän laatu on virrantiheyden laatu, kun se summataan J-vektorin kanssa. Tätä aikaderivaattatermiä kutsutaan siirrosvirraksi. Sitä perusteltiin ottamalla divergenssi Ampèren laista ja saatiin aika luonnollinen tulos: virrantiheyden divergenssi missä tahansa pisteessä on yhtä suuri kuin varaustiheyden negatiivinen aikaderivaatta siinä kohdassa. Siis jos jostain paikasta lähtee nettovirtaa pois, täytyy siinä varauksen vähentyä.

Seuraavaksi tavoitteena oli ratkaista Maxwellin yhtälöt (tyhjässä avaruudessa). Toisin sanoen tarkoitus on laskea sähkö- ja magneettikentät kaikkialla, jotka syntyvät annetuista virta- ja varauslähteistä. Tässä onnistuttiinkin. Ongelma pilkottiin palasiksi: ensin lasketaan lähteistä potentiaalit ja sitten niistä kentät. Vanhat tutut statiikan skalaari- ja vektoripotentiaalifunktiot yleistettiin dynamiikkaan, ja siinä oli kätevää tehdä niin sanotun Lorenzin ehdon mukainen valinta. Saatiin integraalimuotoiset yhtälöt potentiaaleille, jotka poikkesivat statiikan ratkaisuista vain siinä, että potentiaalit olivat “viivästettyjä”. Siis lähteiden vaikutus kenttäpisteeseen laskettiin kuten statiikassa, mutta niiden vaikutushetki määräytyi sen mukaan, kuinka kaukana ne olivat, tarkkaan ottaen ne viivästyivät juuri sen verran, kauanko valolla (sähkömagneettisella aallolla) kestää kulkea matka lähdepisteestä tarkasteltavaan kenttäpisteeseen.

Tosiaankin, tulokseksi tuli aaltoyhtälö, jossa aallon nopeus määräytyi tyhjön permittiivisyydestä ja permeabiilisuudesta. Tämä oli Maxwellin suuri havainto 1860-luvulla: valolla on jotain tekemistä sähkön ja magnetismin kanssa!

Luennolla tuli myös esiin kysymys siitä voiko aika- ja paikkaderivaatan järjestystä vaihtaa. Kyllä voi. Kannattaa kokeilla ottamalla mikä tahansa kahden muuttujan funktio ja derivoida ensin toisen suhteen ja saatu derivaatta vielä toisen suhteen. Sitten vaihtaa derivointijärjestys ja verrata tuloksia.

Esimerkiksi vaikkapa funktio

sin(x t)

Sen derivaatta x:n suhteen on

t cos(x t)

jonka derivaatta t:n suhteen on

cos(x t) – x t sin(x t)

Ja sitten toisinpäin: alkuperäisen funktion t-derivaatta on

x cos(x t)

jonka derivaatta x:n suhteen on

cos(x t) – x t sin(x t)

eli sama.